人脸验证算法Joint Bayesian：原理、实现与Python实战

一、Joint Bayesian算法概述

人脸验证的核心任务是判断两张人脸图像是否属于同一身份。传统方法（如欧氏距离、余弦相似度）易受光照、姿态、表情等因素干扰，而基于统计建模的Joint Bayesian方法通过引入概率模型，有效分离类内差异（同一人的不同图像）与类间差异（不同人的图像），显著提升验证准确率。

1.1 算法核心思想

Joint Bayesian将人脸特征表示为两个独立高斯分布的线性组合：

• 类内差异（Within-class variation）：同一人的不同图像特征差异，服从高斯分布 ( \mathcal{N}(0, \Sigma_w) )。
• 类间差异（Between-class variation）：不同人的图像特征差异，服从高斯分布 ( \mathcal{N}(\mu, \Sigma_b) )。

对于两张人脸图像 ( x_1 ) 和 ( x_2 )，其相似度通过联合概率 ( P(x_1, x_2 | H_I) )（同身份）和 ( P(x_1, x_2 | H_E) )（不同身份）计算，最终通过似然比得分判断是否匹配。

1.2 数学推导

设人脸特征 ( x = \mu + \epsilon )，其中 ( \mu ) 为身份特征，( \epsilon \sim \mathcal{N}(0, \Sigma_w) )。对于两张图像 ( x_1 = \mu_1 + \epsilon_1 )，( x_2 = \mu_2 + \epsilon_2 )，联合概率密度函数为：
[
P(x_1, x_2 | H_I) = \mathcal{N}\left( \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix} \bigg| \begin{bmatrix} \mu_1 \ \mu_2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \Sigma_w & \Sigma_w \ \Sigma_w & \Sigma_w \end{bmatrix} \right)
]
[
P(x_1, x_2 | H_E) = \mathcal{N}\left( \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix} \bigg| \begin{bmatrix} \mu_1 \ \mu_2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \Sigma_w + \Sigma_b & \Sigma_b \ \Sigma_b & \Sigma_w + \Sigma_b \end{bmatrix} \right)
]
似然比得分 ( S(x_1, x_2) ) 通过最大化后验概率推导为：
[
S(x_1, x_2) = \log \frac{P(x_1, x_2 | H_I)}{P(x_1, x_2 | H_E)} = x_1^T A x_1 + x_2^T A x_2 - 2x_1^T G x_2
]
其中 ( A ) 和 ( G ) 由 ( \Sigma_w ) 和 ( \Sigma_b ) 计算得到。

二、Python实现全流程

2.1 环境准备

依赖库：

import numpy as np
from scipy.linalg import inv, sqrtm
from sklearn.model_selection import train_test_split

2.2 数据预处理

假设输入为特征向量（如通过FaceNet提取的512维特征），需进行归一化：

def normalize_features(features):
    mean = np.mean(features, axis=0)
    std = np.std(features, axis=0)
    return (features - mean) / (std + 1e-6)

2.3 参数估计

通过EM算法或闭式解估计 ( \Sigma_w ) 和 ( \Sigma_b )：

def estimate_covariance(features, labels):
    # 分组计算类内和类间协方差
    unique_labels = np.unique(labels)
    n_classes = len(unique_labels)
    n_features = features.shape[1]
    Sigma_w = np.zeros((n_features, n_features))
    Sigma_b = np.zeros((n_features, n_features))
    global_mean = np.mean(features, axis=0)
    for label in unique_labels:
        class_features = features[labels == label]
        class_mean = np.mean(class_features, axis=0)
        diff = class_features - class_mean
        Sigma_w += np.dot(diff.T, diff)
        diff_global = class_mean - global_mean
        Sigma_b += len(class_features) * np.outer(diff_global, diff_global)
    Sigma_w /= len(features)
    Sigma_b /= len(features)
    return Sigma_w, Sigma_b

2.4 计算投影矩阵 ( A ) 和 ( G )

def compute_projection_matrices(Sigma_w, Sigma_b):
    # 闭式解推导
    Sigma_w_inv = inv(Sigma_w)
    A = 0.5 * Sigma_w_inv
    G = 0.5 * inv(Sigma_w + Sigma_b)
    return A, G

2.5 相似度计算

def joint_bayesian_score(x1, x2, A, G):
    term1 = np.dot(x1.T, np.dot(A, x1))
    term2 = np.dot(x2.T, np.dot(A, x2))
    term3 = 2 * np.dot(x1.T, np.dot(G, x2))
    return term1 + term2 - term3

三、完整代码示例

3.1 数据加载与预处理

# 假设features为(n_samples, n_features)，labels为(n_samples,)
features = np.load("face_features.npy")  # 示例数据
labels = np.load("face_labels.npy")
# 归一化
features = normalize_features(features)
# 划分训练集与测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(features, labels, test_size=0.2)

3.2 模型训练

Sigma_w, Sigma_b = estimate_covariance(X_train, y_train)
A, G = compute_projection_matrices(Sigma_w, Sigma_b)

3.3 验证与评估

def evaluate_model(X_test, y_test, A, G):
    scores = []
    labels_pair = []
    n_samples = X_test.shape[0]
    for i in range(n_samples):
        for j in range(i+1, n_samples):
            score = joint_bayesian_score(X_test[i], X_test[j], A, G)
            scores.append(score)
            labels_pair.append(1 if y_test[i] == y_test[j] else 0)
    scores = np.array(scores)
    labels_pair = np.array(labels_pair)
    # 计算等错误率(EER)
    thresholds = np.linspace(scores.min(), scores.max(), 1000)
    far_rates = []
    frr_rates = []
    for thresh in thresholds:
        pred = (scores > thresh).astype(int)
        far = np.sum((pred == 1) & (labels_pair == 0)) / np.sum(labels_pair == 0)
        frr = np.sum((pred == 0) & (labels_pair == 1)) / np.sum(labels_pair == 1)
        far_rates.append(far)
        frr_rates.append(frr)
    eer_idx = np.argmin(np.abs(np.array(far_rates) - np.array(frr_rates)))
    eer = (far_rates[eer_idx] + frr_rates[eer_idx]) / 2
    print(f"EER: {eer:.4f}")
evaluate_model(X_test, y_test, A, G)

四、优化建议与实用技巧

1. 特征质量：使用高判别性特征（如ArcFace、CosFace提取的特征）可显著提升性能。
2. 协方差估计：数据量较小时，可采用正则化（如 ( \Sigma_w + \lambda I )）避免奇异矩阵。
3. 并行计算：相似度计算可并行化加速（如使用numpy.vectorize或GPU）。
4. 阈值选择：根据应用场景动态调整决策阈值（如安全场景需低FAR）。

五、总结与展望

Joint Bayesian通过概率建模有效解决了传统方法的类内-类间差异混淆问题，其数学严谨性与可解释性使其成为人脸验证领域的经典方法。未来可结合深度学习特征与贝叶斯框架，进一步提升模型鲁棒性。

代码与数据：完整代码及示例数据可参考GitHub仓库（示例链接），建议读者在实际项目中调整超参数并扩展数据集以获得更优效果。