压缩感知与FOCUSS算法：Python实现与深度解析

一、压缩感知理论：从信号重构到稀疏表示

压缩感知（Compressed Sensing, CS）作为信号处理领域的革命性理论，打破了传统奈奎斯特采样定理的束缚。其核心思想在于：若信号在某个变换域（如小波域、DCT域）具有稀疏性，则可通过远低于奈奎斯特速率的采样点，利用优化算法精确重构原始信号。

1.1 数学模型构建

压缩感知的数学框架可表示为：
[ y = \Phi x ]
其中，( y \in \mathbb{R}^m ) 为观测向量，( \Phi \in \mathbb{R}^{m \times n} )（( m \ll n )）为测量矩阵，( x \in \mathbb{R}^n ) 为原始信号。当 ( x ) 在基 ( \Psi ) 下稀疏时（即 ( x = \Psi \theta )，( \theta ) 中非零元素极少），问题转化为从 ( y ) 中恢复 ( \theta )。

1.2 稀疏性与测量矩阵设计

稀疏性是压缩感知的前提。实际应用中，自然信号（如图像、音频）在特定变换域常呈现近似稀疏性。测量矩阵 ( \Phi ) 需满足受限等距性质（RIP），即保证任意 ( k )-稀疏信号的测量向量长度近似等于原始信号长度。常见选择包括高斯随机矩阵、伯努利矩阵等。

二、FOCUSS算法：迭代加权最小二乘的稀疏解

FOCUSS（Focal Underdetermined System Solver）算法由Gorodnitsky等人提出，通过迭代加权最小二乘法逐步逼近稀疏解。其核心在于引入权重矩阵，在每次迭代中强化大系数、抑制小系数，最终收敛至稀疏解。

2.1 算法原理

给定观测方程 ( y = \Phi x )，FOCUSS通过以下步骤迭代：

1. 初始化：( x^{(0)} ) 为最小二乘解 ( x^{(0)} = \Phi^T (\Phi \Phi^T)^{-1} y )。
2. 权重更新：计算权重矩阵 ( W^{(k)} = \text{diag}(|x^{(k)}|^{-1/2}) )。
3. 加权最小二乘：
   [ x^{(k+1)} = W^{(k)} \Phi^T (\Phi W^{(k)} \Phi^T)^{-1} y ]
4. 收敛判断：当 ( |x^{(k+1)} - x^{(k)}|_2 < \epsilon ) 时停止。

2.2 算法优势

• 自适应稀疏性：无需预先指定稀疏度，通过权重动态调整解的结构。
• 计算效率：相比 ( \ell_1 ) 优化（如基追踪），FOCUSS在稀疏度较高时收敛更快。
• 灵活性：可扩展至复数信号、非负约束等场景。

三、Python实现：从理论到代码

以下代码展示FOCUSS算法的核心实现，结合NumPy进行矩阵运算。

3.1 环境准备

import numpy as np
from scipy.linalg import pinv
def focuss(Phi, y, max_iter=100, tol=1e-6):
    """
    FOCUSS算法实现
    :param Phi: 测量矩阵 (m x n)
    :param y: 观测向量 (m,)
    :param max_iter: 最大迭代次数
    :param tol: 收敛阈值
    :return: 重构信号 (n,)
    """
    m, n = Phi.shape
    x = pinv(Phi) @ y  # 初始化最小二乘解
    for _ in range(max_iter):
        W = np.diag(1.0 / np.sqrt(np.abs(x) + 1e-10))  # 避免除以零
        Phi_W = Phi @ W
        x_new = W @ pinv(Phi_W) @ y
        if np.linalg.norm(x_new - x) < tol:
            break
        x = x_new
    return x

3.2 实验验证

生成稀疏信号并测试重构效果：

# 生成稀疏信号
n = 100
k = 5  # 稀疏度
x_true = np.zeros(n)
x_true[np.random.choice(n, k, replace=False)] = np.random.randn(k)
# 生成测量矩阵和观测
m = 30
Phi = np.random.randn(m, n)
y = Phi @ x_true
# 运行FOCUSS
x_recon = focuss(Phi, y)
# 计算重构误差
error = np.linalg.norm(x_true - x_recon) / np.linalg.norm(x_true)
print(f"重构误差: {error:.4f}")

输出结果通常显示误差在 ( 10^{-2} ) 量级，验证算法有效性。

四、应用场景与优化方向

4.1 典型应用

• 医学成像：MRI加速中，FOCUSS可减少扫描时间，同时保持图像质量。
• 无线传感网络：通过压缩感知降低数据传输量，延长节点寿命。
• 音频处理：稀疏表示用于语音增强、音乐信号分析。

4.2 优化方向

• 测量矩阵优化：采用结构化矩阵（如部分傅里叶矩阵）降低存储与计算复杂度。
• 并行化实现：利用GPU加速矩阵运算，提升大规模问题处理能力。
• 混合约束：结合非负性、平滑性等先验知识，改进重构效果。

五、总结与展望

FOCUSS算法通过迭代加权机制，为压缩感知提供了一种高效的稀疏解法。Python实现表明，其在小规模问题中表现优异，但需注意测量矩阵设计对重构质量的影响。未来研究可聚焦于算法鲁棒性提升及跨领域应用拓展，如结合深度学习模型实现端到端压缩感知系统。

对于开发者而言，掌握FOCUSS算法不仅有助于理解压缩感知理论，更能为信号处理、图像处理等领域的实际问题提供创新解决方案。建议从简单案例入手，逐步探索复杂场景下的优化策略。