FOCUSS算法在Python压缩感知中的应用与解析

引言

压缩感知（Compressed Sensing, CS）理论突破了奈奎斯特采样定理的限制，通过非自适应线性投影保留信号的稀疏性信息，实现以远低于传统采样率的数据重建。FOCUSS（FOCal Underdetermined System Solver）算法作为压缩感知中的经典稀疏求解方法，通过加权最小二乘迭代逼近最优解，在医学成像、无线通信等领域展现出独特价值。本文将从算法原理、Python实现及性能分析三个维度展开论述，结合代码实例揭示其技术细节。

一、压缩感知与FOCUSS算法理论基础

1.1 压缩感知数学框架

压缩感知的核心问题是从观测向量 $ y \in \mathbb{R}^m $ 中恢复原始信号 $ x \in \mathbb{R}^n $（$ m \ll n $），其数学模型为：
$y = \Phi x$
其中，$ \Phi \in \mathbb{R}^{m \times n} $ 为测量矩阵。当信号 $ x $ 在某变换基 $ \Psi $ 下稀疏（即 $ \theta = \Psi^T x $ 中非零元素极少）时，可通过求解 $ l_0 $ 范数最小化问题实现重建：
$\min |\theta|_0 \quad \text{s.t.} \quad y = \Phi \Psi \theta$
由于 $ l_0 $ 范数优化为NP难问题，通常转化为 $ l_1 $ 范数凸优化或FOCUSS等迭代重加权算法。

1.2 FOCUSS算法原理

FOCUSS通过迭代更新权重矩阵，将 $ l_p $（$ 0 < p < 1 $）非凸优化转化为序列凸优化问题。其迭代公式为：
$x^{(k+1)} = W^{(k)} \Phi^T (\Phi W^{(k)} \Phi^T)^{-1} y$
其中权重矩阵 $ W^{(k)} = \text{diag}(|x^{(k)}|^{p-2}) $，通过惩罚小系数提升稀疏性。算法步骤如下：

1. 初始化 $ x^{(0)} $（如最小二乘解）
2. 计算权重矩阵 $ W^{(k)} $
3. 更新解 $ x^{(k+1)} $
4. 迭代至收敛（如 $ |x^{(k+1)} - x^{(k)}|_2 < \epsilon $）

二、Python实现与代码解析

2.1 环境准备与依赖库

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.linalg import lstsq
# 生成稀疏信号
def generate_sparse_signal(n, k):
    idx = np.random.choice(n, k, replace=False)
    x = np.zeros(n)
    x[idx] = np.random.randn(k)
    return x
# 生成高斯测量矩阵
def generate_measurement_matrix(m, n):
    return np.random.randn(m, n) / np.sqrt(m)

2.2 FOCUSS算法核心实现

def focuss(y, Phi, p=0.8, max_iter=100, tol=1e-6):
    n = Phi.shape[1]
    x = lstsq(Phi, y)[0]  # 初始解（最小二乘）
    for _ in range(max_iter):
        # 计算权重矩阵（避免零值）
        abs_x = np.abs(x)
        mask = abs_x > 1e-10
        W = np.zeros_like(x)
        W[mask] = abs_x[mask] ** (p - 2)
        # 构造加权矩阵
        W_mat = np.diag(W)
        Phi_weighted = Phi @ W_mat
        # 更新解
        x_new = W_mat @ lstsq(Phi_weighted, y)[0]
        # 收敛判断
        if np.linalg.norm(x_new - x) < tol:
            break
        x = x_new
    return x

2.3 性能验证与对比

# 参数设置
n = 256  # 信号维度
k = 10   # 稀疏度
m = 64   # 测量数
p = 0.8  # FOCUSS参数
# 生成数据
x_true = generate_sparse_signal(n, k)
Phi = generate_measurement_matrix(m, n)
y = Phi @ x_true
# 重建信号
x_focuss = focuss(y, Phi, p)
x_omp = orthogonal_mp(y, Phi, n_nonzero_coefs=k)  # 对比OMP算法
# 计算误差
error_focuss = np.linalg.norm(x_true - x_focuss)
error_omp = np.linalg.norm(x_true - x_omp)
print(f"FOCUSS重建误差: {error_focuss:.4f}")
print(f"OMP重建误差: {error_omp:.4f}")

三、算法性能分析与优化方向

3.1 收敛性与参数选择

FOCUSS的收敛性依赖于参数 $ p $ 的选择：

• 当 $ p \to 0 $，算法趋近于 $ l_0 $ 范数优化，但数值稳定性下降
• 当 $ p \to 1 $，算法退化为基追踪（BP）的近似解
• 典型取值范围 $ p \in [0.5, 0.9] $，需通过实验调优

3.2 计算复杂度优化

原始FOCUSS算法每步需计算矩阵逆，复杂度为 $ O(m^3) $。可通过以下方法优化：

1. 迭代阈值法：结合软阈值操作降低计算量
2. 分块处理：对大规模信号分块重建
3. GPU加速：利用cupy库并行化矩阵运算

3.3 与其他算法的对比

算法	优点	缺点
OMP	实现简单，计算效率高	需预先知道稀疏度
BP	理论保证强	计算复杂度高
FOCUSS	无需稀疏度先验，适应性强	参数敏感，可能陷入局部最优

四、工程应用建议

1. 医学成像：在MRI加速中，FOCUSS可通过调整 $ p $ 平衡重建质量与速度
2. 无线传感网：结合压缩感知降低数据采集能耗
3. 图像处理：与小波变换结合提升自然图像的稀疏性

五、结论与展望

FOCUSS算法通过迭代重加权机制有效提升了压缩感知的稀疏重建能力，但其性能高度依赖于参数选择与初始条件。未来研究可聚焦于：

1. 自适应参数调整策略
2. 与深度学习的混合模型
3. 分布式计算框架下的并行实现

通过Python的灵活实现，开发者可快速验证算法特性，为实际系统设计提供理论支撑。完整代码与数据集已开源至GitHub，供研究者参考与改进。