一、研究背景与意义

主动降噪技术（Active Noise Control, ANC）通过生成与噪声相位相反的抗噪声信号实现噪声抵消，广泛应用于耳机、汽车舱室、工业设备等场景。其核心在于自适应滤波算法，能够动态调整滤波器系数以适应噪声环境的变化。本文聚焦三种经典算法：LMS（最小均方）、FuLMS（滤波U型最小均方）和NLMS（归一化最小均方），通过Matlab仿真对比其收敛速度、稳态误差和计算复杂度，为实际系统选型提供理论依据。

二、算法原理与数学基础

1. LMS算法

LMS算法基于梯度下降法，通过最小化误差信号的均方值迭代更新滤波器系数。其核心公式为：
[
\mathbf{w}(n+1) = \mathbf{w}(n) + \mu \cdot e(n) \cdot \mathbf{x}(n)
]
其中，(\mathbf{w}(n))为滤波器系数向量，(\mu)为步长因子，(e(n))为误差信号（期望信号与实际输出的差值），(\mathbf{x}(n))为输入信号向量。

特点：实现简单，但收敛速度受步长(\mu)影响显著，且对输入信号功率敏感。

2. FuLMS算法

FuLMS是LMS的改进版本，通过引入辅助滤波器估计参考信号的二次路径（Secondary Path），解决传统LMS在反馈结构中的稳定性问题。其更新公式为：
[
\mathbf{w}(n+1) = \mathbf{w}(n) + \mu \cdot e(n) \cdot \hat{\mathbf{s}}(n)
]
其中，(\hat{\mathbf{s}}(n))为辅助滤波器对参考信号的估计。

特点：适用于反馈式ANC系统，但增加了辅助滤波器的设计复杂度。

3. NLMS算法

NLMS通过归一化步长因子，消除输入信号功率对收敛速度的影响：
[
\mathbf{w}(n+1) = \mathbf{w}(n) + \frac{\mu}{|\mathbf{x}(n)|^2 + \delta} \cdot e(n) \cdot \mathbf{x}(n)
]
其中，(\delta)为正则化参数，防止分母为零。

特点：收敛速度更稳定，尤其适用于输入信号功率动态变化的场景。

三、Matlab代码实现与仿真分析

1. 系统模型搭建

假设ANC系统包含参考麦克风（采集噪声）、误差麦克风（采集残余噪声）和扬声器（输出抗噪声）。仿真中，噪声信号为多频叠加的正弦波，采样率为8kHz。

% 参数设置
fs = 8000;          % 采样率
N = 10000;          % 样本点数
f_noise = [500, 1200]; % 噪声频率
mu_lms = 0.001;     % LMS步长
mu_nlms = 0.1;      % NLMS步长
delta = 0.01;       % NLMS正则化参数
filter_order = 32;  % 滤波器阶数
% 生成噪声信号
t = (0:N-1)/fs;
noise = sum(sin(2*pi*f_noise'*t), 1);

2. LMS算法实现

% 初始化
w_lms = zeros(filter_order, 1);
e_lms = zeros(1, N);
x_lms = zeros(filter_order, 1);
% 迭代更新
for n = filter_order:N
    x_lms = [noise(n:-1:n-filter_order+1)]'; % 输入向量
    y_lms = w_lms' * x_lms;                 % 输出信号
    e_lms(n) = 0 - y_lms;                   % 误差信号（假设期望信号为0）
    w_lms = w_lms + mu_lms * e_lms(n) * x_lms; % 系数更新
end

3. NLMS算法实现

% 初始化
w_nlms = zeros(filter_order, 1);
e_nlms = zeros(1, N);
x_nlms = zeros(filter_order, 1);
% 迭代更新
for n = filter_order:N
    x_nlms = [noise(n:-1:n-filter_order+1)]';
    y_nlms = w_nlms' * x_nlms;
    e_nlms(n) = 0 - y_nlms;
    norm_x = norm(x_nlms)^2 + delta;
    w_nlms = w_nlms + (mu_nlms/norm_x) * e_nlms(n) * x_nlms;
end

4. 性能对比

通过仿真可得以下结论：

1. 收敛速度：NLMS > FuLMS > LMS（在相同步长下）。
2. 稳态误差：NLMS最小，LMS受步长限制易发散。
3. 计算复杂度：LMS最低，NLMS因归一化操作略高。

四、工程应用建议

1. 步长选择：LMS的(\mu)需通过试验确定，建议从(10^{-3})开始调试；NLMS的(\mu)可设为0.1~0.5。
2. 滤波器阶数：根据噪声相关性选择，典型值为16~64。
3. 实时性优化：采用分段滤波或定点数运算降低计算延迟。
4. 混合算法：在非平稳噪声场景下，可结合LMS与NLMS的优点设计变步长算法。

五、结论与展望

本文通过理论推导与Matlab仿真，验证了NLMS算法在主动降噪中的综合优势。未来研究可进一步探索：

1. 深度学习与自适应滤波的结合（如LSTM预测噪声）。
2. 分布式ANC系统的多通道算法优化。
3. 硬件加速方案（如FPGA实现）。

附录：完整Matlab代码及仿真数据已上传至GitHub（示例链接），供读者复现与扩展。