计算机视觉中的数学：几何变换与矩阵运算详解

引言

计算机视觉的核心任务之一是理解图像中物体的空间关系，而几何变换（Geometric Transformations）正是实现这一目标的基础工具。无论是图像校正、目标跟踪还是三维重建，几何变换都通过数学方法描述物体在空间中的位置、方向和尺寸变化。矩阵运算作为几何变换的数学载体，提供了高效的计算框架，使得复杂的空间操作可以通过简单的矩阵乘法完成。本文将系统解析几何变换的类型、数学表示及其在计算机视觉中的应用，并辅以代码示例帮助读者深入理解。

一、几何变换的分类与数学基础

几何变换可分为刚性变换（Rigid Transformations）和非刚性变换（Non-Rigid Transformations）。刚性变换保持物体的形状和大小不变，仅改变位置和方向，包括平移、旋转和反射；非刚性变换则允许物体发生形变，如缩放、剪切和仿射变换。

1. 二维几何变换

（1）平移变换（Translation）

平移是将物体沿x轴和y轴移动指定距离。设平移向量为 ( \mathbf{t} = [t_x, t_y]^T )，则点 ( \mathbf{p} = [x, y]^T ) 平移后的坐标为：
[ \mathbf{p}’ = \mathbf{p} + \mathbf{t} = \begin{bmatrix} x + t_x \ y + t_y \end{bmatrix} ]
矩阵表示的挑战：平移无法直接用2×2矩阵表示，因为矩阵乘法无法实现加法操作。为此引入齐次坐标（Homogeneous Coordinates），将二维点扩展为三维向量 ( \mathbf{p}_h = [x, y, 1]^T )，平移矩阵表示为：
[ \mathbf{T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \ 0 & 1 & t_y \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{p}_h’ = \mathbf{T} \cdot \mathbf{p}_h ]

（2）旋转变换（Rotation）

旋转是绕原点逆时针旋转角度 ( \theta ) 的变换。在二维空间中，旋转矩阵为：
[ \mathbf{R} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} ]
在齐次坐标下，旋转矩阵扩展为：
[ \mathbf{R}_h = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \ \sin\theta & \cos\theta & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]

（3）缩放变换（Scaling）

缩放改变物体的大小，沿x轴和y轴的缩放因子分别为 ( s_x ) 和 ( s_y )。缩放矩阵为：
[ \mathbf{S} = \begin{bmatrix} s_x & 0 \ 0 & s_y \end{bmatrix} ]
齐次坐标下的表示为：
[ \mathbf{S}_h = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \ 0 & s_y & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]

（4）仿射变换（Affine Transformation）

仿射变换是线性变换（旋转、缩放、剪切）与平移的组合，其一般形式为：
[ \mathbf{p}’ = \mathbf{A} \cdot \mathbf{p} + \mathbf{t} ]
在齐次坐标下，仿射变换可统一表示为矩阵乘法：
[ \mathbf{M} = \begin{bmatrix} a{11} & a{12} & tx \ a{21} & a_{22} & t_y \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{p}_h’ = \mathbf{M} \cdot \mathbf{p}_h ]

2. 三维几何变换

三维几何变换的扩展需引入第四维齐次坐标 ( \mathbf{p}_h = [x, y, z, 1]^T )。

（1）三维平移

平移矩阵为：
[ \mathbf{T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \ 0 & 1 & 0 & t_y \ 0 & 0 & 1 & t_z \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]

（2）三维旋转

三维旋转需指定旋转轴（x、y或z轴）。绕z轴旋转的矩阵为：
[ \mathbf{R}_z = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]
绕x轴和y轴的旋转矩阵类似，分别替换对应的行和列。

（3）三维缩放

缩放矩阵为：
[ \mathbf{S} = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \ 0 & s_y & 0 & 0 \ 0 & 0 & s_z & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]

二、矩阵运算在几何变换中的应用

矩阵运算的核心优势在于组合变换和逆变换的高效计算。

1. 组合变换

多个变换可通过矩阵乘法组合。例如，先旋转后平移的变换矩阵为：
[ \mathbf{M} = \mathbf{T} \cdot \mathbf{R} ]
注意顺序：矩阵乘法不满足交换律，( \mathbf{T} \cdot \mathbf{R} \neq \mathbf{R} \cdot \mathbf{T} )。

2. 逆变换

逆变换用于还原原始坐标。若变换矩阵为 ( \mathbf{M} )，则逆矩阵 ( \mathbf{M}^{-1} ) 满足：
[ \mathbf{M}^{-1} \cdot \mathbf{M} = \mathbf{I} ]
对于平移矩阵 ( \mathbf{T} )，逆矩阵为：
[ \mathbf{T}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -t_x \ 0 & 1 & -t_y \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]
旋转矩阵的逆是其转置（正交矩阵性质）：
[ \mathbf{R}^{-1} = \mathbf{R}^T ]

3. 代码实现示例

以下Python代码使用NumPy实现二维平移、旋转和组合变换：

import numpy as np
def translate_2d(tx, ty):
    return np.array([[1, 0, tx],
                     [0, 1, ty],
                     [0, 0, 1]])
def rotate_2d(theta):
    c, s = np.cos(theta), np.sin(theta)
    return np.array([[c, -s, 0],
                     [s, c, 0],
                     [0, 0, 1]])
def apply_transform(point, matrix):
    # 点需转换为齐次坐标 [x, y, 1]
    point_h = np.array([point[0], point[1], 1])
    transformed = np.dot(matrix, point_h)
    return transformed[:2]  # 返回非齐次坐标
# 示例：先旋转45度，再平移(2,3)
point = np.array([1, 0])
theta = np.pi / 4  # 45度
rotate_matrix = rotate_2d(theta)
translate_matrix = translate_2d(2, 3)
combined_matrix = np.dot(translate_matrix, rotate_matrix)  # 注意顺序
transformed_point = apply_transform(point, combined_matrix)
print("Transformed point:", transformed_point)

三、几何变换在计算机视觉中的应用

1. 图像校正：通过仿射变换校正透视畸变（如文档扫描）。
2. 目标跟踪：利用旋转和平移矩阵预测目标运动。
3. 三维重建：通过相机外参矩阵（旋转+平移）将像素坐标转换为世界坐标。
4. 数据增强：在深度学习中，随机几何变换用于扩充训练数据集。

结论

几何变换与矩阵运算是计算机视觉的数学基石，其核心在于通过齐次坐标和矩阵乘法统一描述空间操作。理解这些原理不仅有助于解决实际问题（如图像对齐、三维重建），还能为优化算法性能提供理论支持。开发者应熟练掌握矩阵运算规则，并结合具体场景选择合适的变换类型。