引言

计算机视觉作为人工智能的重要分支，其核心在于通过数学方法对图像或视频中的几何信息进行建模与处理。其中，几何变换与矩阵运算是支撑图像配准、三维重建、目标跟踪等任务的基础工具。本文将从数学原理出发，系统解析几何变换的分类、矩阵表示及其在计算机视觉中的关键应用，并结合代码示例说明实现方法。

一、几何变换的分类与数学表示

几何变换是指对图像或空间中的点进行位置、形状或方向的改变，其本质是通过数学函数映射输入坐标到输出坐标。根据变换性质，可将其分为以下四类：

1. 刚性变换（Rigid Transformation）

刚性变换保持距离和角度不变，包括平移、旋转和反射。其数学表示为：

• 平移变换：通过向量 ( \mathbf{t} = (t_x, t_y) ) 将点 ( (x, y) ) 映射到 ( (x + t_x, y + t_y) )。
• 旋转变换：绕原点旋转角度 ( \theta ) 的变换矩阵为：
  [
  R(\theta) = \begin{bmatrix}
  \cos\theta & -\sin\theta \
  \sin\theta & \cos\theta
  \end{bmatrix}
  ]
  任意旋转中心 ( (c_x, c_y) ) 的旋转需先平移至原点，旋转后再平移回原位置。

代码示例（Python+NumPy）：

import numpy as np
def rotate_point(point, angle, center):
    # 将角度转换为弧度
    theta = np.radians(angle)
    # 构建旋转矩阵
    R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
                  [np.sin(theta), np.cos(theta)]])
    # 平移点至原点
    translated_point = point - center
    # 应用旋转
    rotated_point = R @ translated_point
    # 平移回原位置
    final_point = rotated_point + center
    return final_point
# 测试
point = np.array([2, 1])
angle = 30
center = np.array([1, 1])
print(rotate_point(point, angle, center))  # 输出旋转后的坐标

2. 相似变换（Similarity Transformation）

相似变换在刚性变换基础上引入缩放因子 ( s )，其矩阵形式为：
[
S = \begin{bmatrix}
s\cos\theta & -s\sin\theta \
s\sin\theta & s\cos\theta
\end{bmatrix}
]
该变换保持形状比例，常用于图像缩放与旋转的联合操作。

3. 仿射变换（Affine Transformation）

仿射变换允许线性变换（旋转、缩放、剪切）和平移的组合，其矩阵表示为：
[
A = \begin{bmatrix}
a{11} & a{12} & tx \
a{21} & a_{22} & t_y \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
]
通过齐次坐标（Homogeneous Coordinates）将二维点 ( (x, y) ) 扩展为 ( (x, y, 1) )，实现变换的统一表示。仿射变换广泛应用于图像校正、透视调整等场景。

代码示例：

def affine_transform(point, A):
    # A为3x3仿射矩阵
    homogeneous_point = np.array([point[0], point[1], 1])
    transformed_point = A @ homogeneous_point
    return transformed_point[:2]  # 返回前两维坐标
# 测试
A = np.array([[1, 0.5, 2],  # 包含剪切和平移
              [0, 1, 1],
              [0, 0, 1]])
point = np.array([1, 1])
print(affine_transform(point, A))

4. 投影变换（Projective Transformation）

投影变换（又称单应性变换）通过 ( 3 \times 3 ) 矩阵处理透视效应，其形式为：
[
H = \begin{bmatrix}
h{11} & h{12} & h{13} \
h{21} & h{22} & h{23} \
h{31} & h{32} & h_{33}
\end{bmatrix}
]
投影变换将直线映射为直线，但不一定保持平行性，常用于图像拼接、三维重建等任务。

二、矩阵运算的核心作用

矩阵运算是实现几何变换的数学基础，其核心优势在于：

1. 统一表示：通过齐次坐标将平移、旋转等操作统一为矩阵乘法。
2. 组合变换：多个变换可通过矩阵相乘合并为一个复合变换，例如：
   [
   T_{\text{total}} = T_3 \cdot T_2 \cdot T_1
   ]
   其中 ( T_i ) 为单个变换矩阵。
3. 逆变换求解：矩阵的逆运算可直接用于反向变换，例如旋转矩阵的逆为其转置矩阵（正交矩阵性质）。

三、计算机视觉中的典型应用

1. 图像配准（Image Registration）

通过仿射或投影变换将多幅图像对齐到同一坐标系，常用于医学影像融合或遥感图像拼接。

2. 三维重建（3D Reconstruction）

从多视角图像中恢复三维结构时，需通过投影变换建立图像坐标与三维点的对应关系。

3. 增强现实（AR）

在AR场景中，需通过刚性变换将虚拟物体准确叠加到真实场景中，要求实时计算相机位姿。

四、实践建议

1. 选择合适的变换类型：根据任务需求选择刚性、仿射或投影变换，避免过度复杂化。
2. 优化矩阵运算：利用NumPy等库的向量化操作提升计算效率，避免循环。
3. 处理数值稳定性：在投影变换中，注意归一化齐次坐标以避免数值溢出。

结论

几何变换与矩阵运算是计算机视觉的数学基石，其理论严谨性与实现效率直接影响算法性能。通过深入理解变换分类、矩阵表示及应用场景，开发者能够更高效地解决图像对齐、三维重建等核心问题。未来，随着深度学习与几何方法的融合，矩阵运算的优化将成为提升视觉模型泛化能力的关键方向。