几何变换：计算机视觉的几何语言

几何变换是计算机视觉中对图像或空间数据进行空间操作的基础工具，其核心目标是通过数学模型描述物体在二维或三维空间中的位置、方向和尺度变化。根据变换性质，几何变换可分为刚性变换（保持距离和角度不变）和非刚性变换（允许形变）。

1. 刚性变换的数学表达

刚性变换由平移、旋转和反射组成，在计算机视觉中主要用于物体定位和姿态估计。

1.1 二维刚性变换

二维空间中的刚性变换可通过齐次坐标和仿射变换矩阵统一表示。设点 ( P(x,y) ) 的齐次坐标为 ( \begin{bmatrix}x \ y \ 1\end{bmatrix} )，其变换矩阵 ( T ) 形式为：
[
T = \begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & t_x \
\sin\theta & \cos\theta & t_y \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
]
其中 ( \theta ) 为旋转角度，( (t_x, t_y) ) 为平移向量。通过矩阵乘法 ( P’ = T \cdot P )，可实现点的旋转和平移复合操作。

代码示例（Python + NumPy）：

import numpy as np
def apply_2d_transform(points, theta_deg, tx, ty):
    theta = np.radians(theta_deg)
    T = np.array([
        [np.cos(theta), -np.sin(theta), tx],
        [np.sin(theta), np.cos(theta), ty],
        [0, 0, 1]
    ])
    homogeneous_points = np.hstack([points, np.ones((points.shape[0], 1))])
    transformed_points = (T @ homogeneous_points.T).T[:, :2]
    return transformed_points
# 示例：旋转30度并平移(50, 30)
points = np.array([[10, 20], [30, 40]])
transformed = apply_2d_transform(points, 30, 50, 30)
print(transformed)

1.2 三维刚性变换

三维刚性变换通过4×4齐次矩阵实现，包含旋转（绕X/Y/Z轴）和平移。旋转部分可用欧拉角或四元数表示，但矩阵形式更利于复合运算。例如绕Z轴旋转的矩阵为：
[
R_z(\theta) = \begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \
\sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
]

2. 非刚性变换的数学模型

非刚性变换允许物体形变，常见于图像配准和形态学分析。

2.1 相似变换

相似变换在刚性变换基础上引入均匀缩放，矩阵形式为：
[
S = \begin{bmatrix}
s\cos\theta & -s\sin\theta & t_x \
s\sin\theta & s\cos\theta & t_y \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
]
其中 ( s ) 为缩放因子。

2.2 仿射变换

仿射变换允许线性形变（如剪切），其矩阵形式为：
[
A = \begin{bmatrix}
a{11} & a{12} & tx \
a{21} & a_{22} & t_y \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
]
仿射变换保持平行性，但不一定保持角度或长度。

2.3 投影变换

投影变换（单应性变换）用于处理透视效应，其矩阵为非奇异3×3矩阵：
[
H = \begin{bmatrix}
h{11} & h{12} & h{13} \
h{21} & h{22} & h{23} \
h{31} & h{32} & h{33}
\end{bmatrix}
]
通过齐次坐标归一化 ( (x’, y’, 1) \sim (h{11}x + h{12}y + h{13}, h{21}x + h{22}y + h{23}, h{31}x + h{32}y + h{33}) ) 实现透视校正。

代码示例（单应性矩阵估计）：

import cv2
import numpy as np
# 假设已通过特征匹配获得源点和目标点
src_points = np.float32([[0, 0], [100, 0], [100, 100], [0, 100]])
dst_points = np.float32([[10, 20], [110, 15], [90, 110], [5, 90]])
# 计算单应性矩阵
H, _ = cv2.findHomography(src_points, dst_points)
print("Homography matrix:\n", H)
# 应用变换
test_point = np.array([[50, 50, 1]]).T
transformed = H @ test_point
transformed /= transformed[2]  # 归一化
print("Transformed point:", transformed[:2].T)

矩阵运算：几何变换的实现引擎

矩阵运算是几何变换高效实现的核心，其关键在于理解矩阵分解与复合变换的数学性质。

1. 矩阵分解与变换分解

任意仿射变换矩阵可分解为缩放、旋转、剪切和平移的组合。例如，给定矩阵：
[
A = \begin{bmatrix}
2 & 1 & 10 \
0 & 3 & 5 \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
]
可通过QR分解或极分解将其拆解为基本变换的序列。

2. 复合变换的矩阵乘法

多个变换的复合可通过矩阵乘法实现，顺序从右向左应用。例如，先旋转后平移的变换矩阵为 ( T \cdot R )。

数学推导：
设点 ( P ) 先经旋转 ( R ) 再经平移 ( T )，则最终位置为：
[
P’ = T \cdot (R \cdot P) = (T \cdot R) \cdot P
]
矩阵乘法不满足交换律，因此变换顺序至关重要。

3. 逆变换与变换求解

逆变换用于从变换后坐标还原原始坐标，其矩阵为原矩阵的逆。对于刚性变换矩阵 ( T )，其逆矩阵 ( T^{-1} ) 可通过转置旋转部分并取反平移向量得到：
[
T^{-1} = \begin{bmatrix}
\cos\theta & \sin\theta & -t_x\cos\theta - t_y\sin\theta \
-\sin\theta & \cos\theta & t_x\sin\theta - t_y\cos\theta \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
]

应用场景：在相机标定中，需从图像坐标反推世界坐标，此时逆变换矩阵至关重要。

实践建议与优化技巧

1. 数值稳定性：在实现投影变换时，确保矩阵非奇异（行列式不为零），避免除零错误。
2. 性能优化：对于批量点变换，使用矩阵乘法而非逐点循环，利用NumPy等库的向量化操作。
3. 变换分解：复杂变换可分解为基本变换的组合，便于调试和理解。
4. 可视化验证：通过绘制变换前后的图形，直观验证变换效果。

结论

几何变换与矩阵运算是计算机视觉的数学基石，从简单的图像旋转到复杂的三维重建，均依赖这些理论。通过理解变换类型、矩阵表示和复合规则，开发者能够更高效地实现空间操作算法。本文提供的理论推导和代码示例可作为实践参考，助力解决计算机视觉中的几何问题。