计算机视觉中的数学：几何变换与矩阵运算深度解析

在计算机视觉领域，图像处理、物体识别与三维重建等任务均依赖于对空间关系的精确建模。几何变换与矩阵运算作为核心数学工具，不仅为图像变形提供了统一框架，更通过线性代数的高效性支撑了实时计算需求。本文将从基础变换的矩阵表示出发，深入探讨齐次坐标的必要性、复合变换的矩阵乘法规则，并结合代码实例说明其在实际场景中的应用。

一、几何变换的数学基础

1.1 二维空间的线性变换

二维图像的几何变换可通过2×2矩阵实现线性部分操作。例如，旋转矩阵：
[
R(\theta) = \begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
]
表示绕原点逆时针旋转θ角度。缩放矩阵：
[
S(s_x, s_y) = \begin{bmatrix}
s_x & 0 \
0 & s_y
\end{bmatrix}
]
则控制x、y轴方向的独立缩放比例。

局限性：纯线性变换无法处理平移操作（如将图像向右移动10像素），因为平移需要引入常数项，而2×2矩阵乘法无法直接表达。

1.2 齐次坐标的引入

为统一表示平移、旋转等变换，计算机视觉采用齐次坐标（Homogeneous Coordinates）。通过将二维点 ((x, y)) 扩展为三维向量 ((x, y, 1))，平移变换可表示为：
[
T(t_x, t_y) = \begin{bmatrix}
1 & 0 & t_x \
0 & 1 & t_y \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
]
此时，点 ((x, y)) 平移后的坐标为：
[
\begin{bmatrix}
x’ \
y’ \
1
\end{bmatrix}
= T(t_x, t_y) \cdot \begin{bmatrix}
x \
y \
1
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
x + t_x \
y + t_y \
1
\end{bmatrix}
]

优势：齐次坐标使所有几何变换（平移、旋转、缩放）均可通过矩阵乘法实现，且支持复合变换的链式计算。

二、矩阵运算的核心应用

2.1 复合变换的矩阵乘法

多个变换的组合可通过矩阵乘法实现。例如，先旋转θ角度再平移 ((t_x, t_y)) 的复合变换矩阵为：
[
M = T(t_x, t_y) \cdot R(\theta)
]
计算顺序：矩阵乘法不满足交换律，因此变换顺序影响结果。例如，先平移后旋转与先旋转后平移的结果通常不同。

2.2 三维空间中的变换

在三维计算机视觉中（如物体姿态估计），变换矩阵扩展为4×4形式。例如，绕x轴旋转θ角度的矩阵为：
[
R_x(\theta) = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \
0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
]
三维齐次坐标 ((x, y, z, 1)) 通过此类矩阵可实现旋转、平移和缩放。

2.3 逆变换与坐标系转换

逆变换矩阵用于将变换后的坐标还原。例如，旋转矩阵 (R(\theta)) 的逆为 (R(-\theta))，平移矩阵 (T(t_x, t_y)) 的逆为 (T(-t_x, -t_y))。在相机标定中，逆变换常用于将世界坐标转换为相机坐标。

三、代码实例：OpenCV中的变换实现

以下代码展示如何使用OpenCV和NumPy实现图像的旋转与平移：

import cv2
import numpy as np
# 读取图像
image = cv2.imread('input.jpg')
height, width = image.shape[:2]
# 定义旋转中心（图像中心）
center = (width // 2, height // 2)
# 定义旋转矩阵（逆时针旋转30度）
angle = 30
scale = 1.0
rotation_matrix = cv2.getRotationMatrix2D(center, angle, scale)
# 应用旋转
rotated_image = cv2.warpAffine(image, rotation_matrix, (width, height))
# 定义平移矩阵（向右平移100像素，向下平移50像素）
translation_matrix = np.float32([[1, 0, 100], [0, 1, 50]])
# 应用平移
translated_image = cv2.warpAffine(image, translation_matrix, (width, height))
# 组合变换：先旋转后平移
# 注意：OpenCV的warpAffine不支持直接组合矩阵，需手动计算
combined_matrix = np.dot(translation_matrix, rotation_matrix[:, :2])
# 调整为3x3矩阵以包含平移项（需扩展维度）
# 实际开发中建议使用仿射变换矩阵的完整形式
affine_matrix = np.zeros((2, 3))
affine_matrix[:2, :2] = np.dot(translation_matrix[:2, :2], rotation_matrix[:, :2])
affine_matrix[0, 2] = translation_matrix[0, 2] + np.dot(translation_matrix[:2, :2], rotation_matrix[:, 2])[0]
affine_matrix[1, 2] = translation_matrix[1, 2] + np.dot(translation_matrix[:2, :2], rotation_matrix[:, 2])[1]
# 更简单的方法是分步应用变换
rotated = cv2.warpAffine(image, rotation_matrix, (width, height))
combined_image = cv2.warpAffine(rotated, translation_matrix, (width, height))
# 显示结果
cv2.imshow('Rotated Image', rotated_image)
cv2.imshow('Translated Image', translated_image)
cv2.imshow('Combined Image', combined_image)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

关键点：

1. OpenCV的getRotationMatrix2D直接生成2×3的仿射变换矩阵（已包含齐次坐标的简化形式）。
2. 复合变换需分步应用，或通过矩阵乘法预先计算（需注意维度匹配）。
3. 实际开发中，建议使用cv2.warpAffine的flags参数控制插值方式（如线性插值cv2.INTER_LINEAR）。

四、实际应用中的注意事项

1. 数值稳定性：在多次变换叠加时，浮点数误差可能累积。建议定期对变换矩阵进行归一化处理。
2. 性能优化：对于实时系统（如AR应用），可预先计算并缓存常用变换矩阵，避免重复计算。
3. 边界处理：变换后的图像可能超出原始边界，需通过cv2.warpAffine的borderMode参数控制填充方式（如零填充或反射填充）。

五、总结与展望

几何变换与矩阵运算为计算机视觉提供了统一的数学语言，从二维图像处理到三维重建均依赖其精确性。未来，随着深度学习与几何计算的融合（如神经辐射场NeRF），矩阵运算的效率与可微性将成为研究重点。开发者应深入理解变换的数学本质，以更灵活地应对复杂场景的挑战。