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HDU 5626：平面曼哈顿距离的极值求解

作者：菠萝爱吃肉2025.10.10 16:29浏览量：1

简介：本文聚焦HDU 5626问题，即求解平面内两点间的曼哈顿最远距离。通过分析曼哈顿距离的定义与性质，结合数学推导与算法优化，提出了高效求解该问题的策略，并提供了代码实现与复杂度分析。

引言

在计算几何与算法竞赛中，距离计算是一个基础且重要的主题。其中，曼哈顿距离（Manhattan Distance）作为一种特殊的距离度量方式，广泛应用于城市规划、图像处理、机器学习等多个领域。HDU 5626问题“Clarke and points”便是一个典型的平面两点曼哈顿最远距离求解问题。本文将深入探讨该问题的本质，提出高效的求解方法，并通过代码实现与复杂度分析，为读者提供一套完整的解决方案。

曼哈顿距离的定义与性质

曼哈顿距离，又称城市街区距离或L1距离，是指在二维平面上，两点$(x_1, y_1)$与$(x_2, y_2)$之间的曼哈顿距离定义为：
$D = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|$。
与欧几里得距离（直线距离）不同，曼哈顿距离考虑的是沿坐标轴方向移动的总距离，因此在实际应用中，如城市道路网络，曼哈顿距离更具现实意义。

HDU 5626问题描述

给定平面上的$n$个点，要求找出其中曼哈顿距离最远的两个点。这是一个典型的极值问题，关键在于如何高效地遍历所有点对，并计算它们之间的曼哈顿距离，从而找到最大值。

求解策略

暴力法

最直观的方法是暴力遍历所有点对，计算每对点之间的曼哈顿距离，并记录最大值。这种方法的时间复杂度为$O(n^2)$，对于大规模数据集来说，效率极低。

优化策略

为了优化求解过程，我们可以利用曼哈顿距离的性质进行数学推导。观察到曼哈顿距离可以拆分为两个方向上的绝对差之和，我们可以尝试通过转换坐标系或利用排序等手段来减少计算量。

关键观察：

  • 对于任意一点$(x, y)$，其与其他点的曼哈顿距离可以表示为$(x \pm y)$与$(x’ \pm y’)$的差值绝对值之和。
  • 我们可以将点的坐标进行转换，如$(x + y, x - y)$，这样曼哈顿距离就转化为新坐标系下的欧几里得距离的某种形式（虽然不是直接的欧几里得距离，但可以利用排序等性质）。

具体步骤：

  1. 坐标转换：将每个点的坐标$(x, y)$转换为$(x + y, x - y)$。
  2. 排序与查找：对新坐标系下的点按照某一维度（如$x + y$或$x - y$）进行排序，然后利用双指针或滑动窗口等技巧来查找最远点对。但这种方法并不直接给出曼哈顿距离的最大值，需要进一步推导。
  3. 直接优化：更直接的方法是注意到，对于任意一点，其与其他点的曼哈顿距离的最大值，要么是与该点在$x$方向上最远的点（即$x$坐标差最大），要么是与该点在$y$方向上最远的点（即$y$坐标差最大），但更准确的是考虑四个方向上的极值点（即$x+y$最大/最小，$x-y$最大/最小）。因此，我们可以分别找出这四个极值点，然后计算它们之间的曼哈顿距离，取最大值。

算法实现：

  1. 遍历所有点，找出$x+y$的最大值和最小值对应的点，以及$x-y$的最大值和最小值对应的点。
  2. 计算这四个点两两之间的曼哈顿距离（实际上，由于曼哈顿距离的性质，只需计算其中几对即可确定最大值，如最大$x+y$与最小$x+y$的点，以及最大$x-y$与最小$x-y$的点之间的曼哈顿距离，并比较它们）。
  3. 返回最大的曼哈顿距离。

这种方法的时间复杂度为$O(n)$，因为只需遍历一次所有点来找出四个极值点，然后进行常数次曼哈顿距离的计算。

代码实现与复杂度分析

以下是基于上述优化策略的代码实现（伪代码/C++风格）：

  1. #include <iostream>
  2. #include <vector>
  3. #include <algorithm>
  4. #include <climits>
  6. using namespace std;
  8. struct Point {
  9.     int x, y;
  10.     Point(int x, int y) : x(x), y(y) {}
  11. };
  13. int manhattanDistance(const Point& p1, const Point& p2) {
  14.     return abs(p1.x - p2.x) + abs(p1.y - p2.y);
  15. }
  17. int findMaxManhattanDistance(const vector<Point>& points) {
  18.     if (points.empty()) return 0;
  20.     int max_x_plus_y = INT_MIN, min_x_plus_y = INT_MAX;
  21.     int max_x_minus_y = INT_MIN, min_x_minus_y = INT_MAX;
  22.     Point* max_x_plus_y_point = nullptr;
  23.     Point* min_x_plus_y_point = nullptr;
  24.     Point* max_x_minus_y_point = nullptr;
  25.     Point* min_x_minus_y_point = nullptr;
  27.     for (const auto& point : points) {
  28.         int x_plus_y = point.x + point.y;
  29.         int x_minus_y = point.x - point.y;
  31.         if (x_plus_y > max_x_plus_y) {
  32.             max_x_plus_y = x_plus_y;
  33.             // 这里简化处理，实际需要记录点对象或索引
  34.             // 假设我们有一个方法来获取或存储这些点
  35.         }
  36.         if (x_plus_y < min_x_plus_y) {
  37.             min_x_plus_y = x_plus_y;
  38.             // 同样简化处理
  39.         }
  40.         if (x_minus_y > max_x_minus_y) {
  41.             max_x_minus_y = x_minus_y;
  42.             // 简化处理
  43.         }
  44.         if (x_minus_y < min_x_minus_y) {
  45.             min_x_minus_y = x_minus_y;
  46.             // 简化处理
  47.         }
  48.     }
  50.     // 实际实现中，需要之前存储这四个极值点
  51.     // 这里假设我们已经有了这四个点：p_max_x_plus_y, p_min_x_plus_y, p_max_x_minus_y, p_min_x_minus_y
  52.     // 计算它们之间的曼哈顿距离并返回最大值
  53.     // 由于是伪代码，以下直接返回一个假设的最大值计算过程
  54.     int max_dist = 0;
  55.     // 实际应比较 p_max_x_plus_y 与 p_min_x_plus_y, p_max_x_minus_y 与 p_min_x_minus_y 等的距离
  56.     // 这里简化为返回一个示例值
  57.     // 假设我们通过某种方式得到了这四个点，并计算了距离
  58.     // max_dist = max(manhattanDistance(p_max_x_plus_y, p_min_x_plus_y), ...);
  60.     // 完整实现需要额外代码来存储和访问这四个极值点
  61.     // 以下是一个简化的思路说明：
  62.     // 可以在遍历时同时记录这四个极值点的索引或对象
  63.     // 然后计算它们之间的距离
  65.     // 由于伪代码限制，这里直接给出一个概念性的返回
  66.     // 实际实现中，应替换为具体的点对象和距离计算
  67.     return max_dist; // 实际应为计算后的最大值
  68. }
  70. // 完整实现示例（简化版，实际需要处理点的存储）
  71. int main() {
  72.     vector<Point> points = {Point(1, 2), Point(3, 4), Point(-1, -2), Point(5, -3)};
  74.     // 实际实现中，需要在findMaxManhattanDistance中处理点的存储和极值点的查找
  75.     // 这里简化为直接调用并假设函数能正确处理
  76.     cout << "Maximum Manhattan Distance: " << /* 调用实际函数 */ 0 << endl; // 替换为实际调用
  78.     return 0;
  79. }
  81. // 实际C++实现（简化且完整示例）
  82. #include <iostream>
  83. #include <vector>
  84. #include <algorithm>
  85. #include <climits>
  87. using namespace std;
  89. struct Point {
  90.     int x, y;
  91.     Point(int x = 0, int y = 0) : x(x), y(y) {}
  92. };
  94. int manhattanDistance(const Point& a, const Point& b) {
  95.     return abs(a.x - b.x) + abs(a.y - b.y);
  96. }
  98. int findMaxManhattanDistance(const vector<Point>& points) {
  99.     if (points.size() < 2) return 0;
  101.     Point max_xp_yp = points[0], min_xp_yp = points[0];
  102.     Point max_xm_ym = points[0], min_xm_ym = points[0];
  104.     for (const auto& p : points) {
  105.         int xp_yp = p.x + p.y;
  106.         int xm_ym = p.x - p.y;
  108.         if (xp_yp > max_xp_yp.x + max_xp_yp.y) max_xp_yp = p;
  109.         if (xp_yp < min_xp_yp.x + min_xp_yp.y) min_xp_yp = p;
  110.         if (xm_ym > max_xm_ym.x - max_xm_ym.y) max_xm_ym = p;
  111.         if (xm_ym < min_xm_ym.x - min_xm_ym.y) min_xm_ym = p;
  112.     }
  114.     int dist1 = manhattanDistance(max_xp_yp, min_xp_yp);
  115.     int dist2 = manhattanDistance(max_xm_ym, min_xm_ym);
  116.     // 可能还需要考虑其他组合，但根据曼哈顿距离性质，这两对中的最大值即为所求
  117.     return max(dist1, dist2);
  118. }
  120. int main() {
  121.     vector<Point> points = {{1, 2}, {3, 4}, {-1, -2}, {5, -3}, {0, 0}, {-5, 5}};
  122.     cout << "Maximum Manhattan Distance: " << findMaxManhattanDistance(points) << endl;
  123.     return 0;
  124. }

复杂度分析：

  • 时间复杂度：$O(n)$，因为只需遍历一次所有点来找出四个极值点。
  • 空间复杂度：$O(1)$（不考虑输入存储空间），因为只使用了常数个额外变量来存储极值点。

结论

HDU 5626问题“Clarke and points”要求求解平面内两点间的曼哈顿最远距离。通过深入分析曼哈顿距离的性质，我们提出了一种高效的求解策略，即通过坐标转换和极值点查找来优化计算过程。该方法的时间复杂度为$O(n)$，空间复杂度为$O(1)$，能够高效处理大规模数据集。本文还提供了完整的代码实现和复杂度分析，为读者提供了一套实用的解决方案。

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