引言

图像降噪是计算机视觉领域的经典课题，其核心目标是在保留图像细节的同时消除噪声干扰。传统方法不依赖深度学习框架，而是基于数学建模与信号处理理论，具有可解释性强、计算资源需求低的特点。本文将从空间域滤波、频域处理、统计建模三大维度，系统梳理传统图像降噪技术的核心原理与实现路径。

一、空间域滤波技术

空间域滤波直接作用于图像像素矩阵，通过邻域像素的加权组合实现降噪。其核心在于设计滤波器核（Kernel），平衡噪声抑制与细节保留。

1.1 线性滤波器

均值滤波是最简单的线性滤波方法，其原理是用邻域像素的平均值替代中心像素值。数学表达式为：
[ g(x,y) = \frac{1}{M} \sum_{(i,j)\in S} f(i,j) ]
其中( S )为邻域窗口，( M )为窗口内像素总数。代码实现如下：

import cv2
import numpy as np
def mean_filter(image, kernel_size=3):
    kernel = np.ones((kernel_size, kernel_size), np.float32) / (kernel_size**2)
    return cv2.filter2D(image, -1, kernel)

均值滤波对高斯噪声有效，但会模糊边缘细节。

高斯滤波通过加权平均改进均值滤波，权重由二维高斯函数决定：
[ G(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma^2} e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}} ]
其中( \sigma )控制滤波强度。OpenCV实现示例：

def gaussian_filter(image, kernel_size=3, sigma=1):
    return cv2.GaussianBlur(image, (kernel_size, kernel_size), sigma)

高斯滤波在平滑噪声的同时能更好地保留边缘。

1.2 非线性滤波器

中值滤波通过邻域像素的中值替代中心像素，对脉冲噪声（如椒盐噪声）特别有效。其数学定义为：
[ g(x,y) = \text{median}{f(i,j) | (i,j)\in S} ]
实现代码如下：

def median_filter(image, kernel_size=3):
    return cv2.medianBlur(image, kernel_size)

中值滤波能完全消除单点噪声，但可能导致边缘抖动。

双边滤波结合空间邻近度与像素相似度，在平滑的同时保护边缘。其权重函数为：
[ w(i,j) = w_s(i,j) \cdot w_r(i,j) ]
其中( w_s )为空间权重，( w_r )为灰度权重。OpenCV实现：

def bilateral_filter(image, d=9, sigma_color=75, sigma_space=75):
    return cv2.bilateralFilter(image, d, sigma_color, sigma_space)

双边滤波在保持边缘清晰度方面表现优异，但计算复杂度较高。

二、频域处理技术

频域方法通过傅里叶变换将图像转换到频域，在频域中抑制高频噪声成分。

2.1 傅里叶变换基础

图像的二维离散傅里叶变换（DFT）定义为：
[ F(u,v) = \sum{x=0}^{M-1}\sum{y=0}^{N-1} f(x,y) e^{-j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})} ]
逆变换为：
[ f(x,y) = \frac{1}{MN}\sum{u=0}^{M-1}\sum{v=0}^{N-1} F(u,v) e^{j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})} ]
OpenCV中可通过np.fft.fft2与np.fft.ifft2实现。

2.2 频域滤波

理想低通滤波器直接截断高频成分：
[ H(u,v) = \begin{cases}
1 & \text{if } D(u,v) \leq D_0 \
0 & \text{otherwise}
\end{cases} ]
其中( D(u,v) )为频率到中心的距离，( D_0 )为截止频率。实现步骤：

1. 计算DFT并移位到中心
2. 创建掩模矩阵
3. 应用掩模并逆变换

高斯低通滤波器使用高斯函数平滑过渡：
[ H(u,v) = e^{-\frac{D^2(u,v)}{2D_0^2}} ]
其频域响应更自然，可减少振铃效应。

三、统计建模方法

统计方法通过噪声的统计特性建立模型，实现更精准的降噪。

3.1 维纳滤波

维纳滤波基于最小均方误差准则，假设噪声与信号不相关。其传递函数为：
[ H(u,v) = \frac{P_s(u,v)}{P_s(u,v) + P_n(u,v)} ]
其中( P_s )为信号功率谱，( P_n )为噪声功率谱。实际应用中需估计噪声方差：

def wiener_filter(image, kernel_size=3, noise_var=10):
    from scipy.signal import wiener
    return wiener(image, (kernel_size, kernel_size), noise_var)

维纳滤波对高斯噪声效果显著，但需要准确估计噪声参数。

3.2 稀疏表示方法

稀疏表示假设自然图像在特定变换域（如DCT、小波）中具有稀疏性。降噪步骤为：

1. 选择过完备字典（如DCT基）
2. 求解稀疏系数：
   [ \min_{\alpha} |\alpha|_0 \quad \text{s.t.} |D\alpha - y|_2 \leq \epsilon ]
3. 重构图像：( \hat{x} = D\hat{\alpha} )

实际应用中常用OMP（正交匹配追踪）算法求解稀疏系数。

四、方法对比与选型建议

方法类型	优势	局限性	适用场景
均值滤波	实现简单，计算快	过度平滑边缘	预处理或实时系统
高斯滤波	边缘保留较好	对脉冲噪声无效	高斯噪声环境
中值滤波	消除脉冲噪声	可能导致边缘抖动	椒盐噪声环境
双边滤波	边缘保护优异	计算复杂度高	纹理丰富图像
频域方法	可分离周期噪声	需要傅里叶变换计算	周期性噪声或全局降噪
维纳滤波	理论最优解	依赖噪声参数估计	已知噪声特性场景

选型建议：

1. 实时系统优先选择高斯滤波或均值滤波
2. 椒盐噪声首选中值滤波
3. 纹理图像考虑双边滤波
4. 周期性噪声适用频域方法
5. 已知噪声统计特性时采用维纳滤波

五、实践优化技巧

1. 参数调优：高斯滤波的( \sigma )值通常设为1-3，双边滤波的( \sigma{color} )与( \sigma{space} )需平衡平滑与边缘保护
2. 多阶段处理：可先进行中值滤波消除脉冲噪声，再用高斯滤波平滑剩余噪声
3. ROI处理：对感兴趣区域采用不同强度的滤波
4. 性能优化：对于大图像，可分块处理或使用积分图像加速均值滤波
5. 效果评估：使用PSNR、SSIM等指标量化降噪效果

结论

传统图像降噪方法构建了计算机视觉的基础技术体系，其数学严谨性与可解释性为深度学习方法提供了重要参考。在实际应用中，开发者应根据噪声类型、计算资源、边缘保持需求等综合因素选择合适方法。未来，传统方法与深度学习的融合（如深度先验引导的维纳滤波）将成为新的研究方向。